Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria [Recurso electrónico] /

Los números naturales _________________________________________________ 8
¿Qué es un número natural? _______________________________________________________ 11
¿Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? ____________________________ 11
¿Qué son y para qué sirven los paréntesis? ___________________________________________ 12
¿En qué orden deben realizarse las operaciones? _______________________________________ 12
¿Qué problema encontramos en las operaciones entre números naturales? ___________________ 13
¿Qué son los múltiplos y los divisores? ______________________________________________ 13
¿Cuáles son las propiedades de los múltiplos y divisores? _______________________________ 14
¿Cómo saber si un número es múltiplo (o divisor) de otro? ______________________________ 14
¿Qué es un número primo? _______________________________________________________ 15
¿Como se descompone un número natural en factores primos? ___________________________ 15
¿Qué es y cómo se halla el máximo común divisor o mcd? _______________________________ 16
¿Qué es y cómo se halla el mínimo común múltiplo o mcm? _____________________________ 16
Los números enteros __________________________________________________ 17
¿Que es un número entero? _______________________________________________________ 20
¿Cómo están ordenados los números enteros? _________________________________________ 20
¿Qué es el valor absoluto de un número entero? _______________________________________ 21
¿Cómo se representan los números enteros en una recta? ________________________________ 21
¿Cómo se realizan la suma y la resta entre números enteros? _____________________________ 22
¿Siempre significan lo mismo los signos + y –? _______________________________________ 23
¿Cómo se realizan la multiplicación y la división entre números enteros? ___________________ 23
¿Cómo afectan las operaciones al orden de los números enteros? __________________________ 24
Los números racionales ________________________________________________ 26
¿Qué es un número fraccionario? ___________________________________________________ 29
¿Cuál es el signo de una fracción? __________________________________________________ 29
¿En qué casos dos o más fracciones son equivalentes? __________________________________ 30
¿Qué es una fracción irreducible? __________________________________________________ 31
¿Qué es un número racional? ______________________________________________________ 31
¿Cómo se realiza la suma de fracciones con el mismo denominador? _______________________ 32
¿Cómo se realiza la suma de fracciones con distinto denominador? ________________________ 32
¿Cómo se reducen las dos o más fracciones de una suma al mismo denominador? ____________ 33
¿Cuáles son las propiedades de la suma de fracciones? __________________________________ 34
¿Cómo se realiza la resta de fracciones? _____________________________________________ 34
¿Cómo se realiza la multiplicación de fracciones y cuáles son sus propiedades? ______________ 35
¿Cuáles son las propiedades del producto de fracciones? ________________________________ 35
¿Cómo se realiza la división de fracciones? __________________________________________ 36
¿Cuál es el orden en el que deben realizarse las operaciones elementales entre fracciones? ______ 36
¿Qué es la forma decimal de un número racional? _____________________________________ 37
¿Cómo se aproxima un número racional por un número decimal? _________________________ 38
¿Cómo se ordenan los números racionales en una recta? ________________________________ 38
Potencias y raíces _____________________________________________________ 40
¿Cómo se realiza la potenciación de números y cuáles son sus propiedades? _________________ 43
¿Cuáles son las características de la potenciación de números enteros? _____________________ 44
¿Cuáles son las características de la potenciación de números fraccionarios? _________________ 44
¿Cómo se simplifica una expresión con potencias del tipo
25 ⋅ 8 ⋅ 7 7 ⋅ 5 4
3 5 ⋅ 25 2 ⋅ ( − 5 ) .49 3
3
? ____________ 45
¿Qué es y cómo se calcula la raíz de un número? ______________________________________ 45
¿Cuáles son las propiedades básicas de la radicación? __________________________________ 46
¿Cómo pueden expresarse de manera general las propiedades de las potencias y raíces? ________ 47
¿Cómo se simplifica una expresión del tipo
3
4 4
8
? __________________________________ 48
27
¿Qué es la racionalización de fracciones? ____________________________________________ 48 Los números reales ___________________________________________________ 49
¿Existen números que no sean racionales? ___________________________________________ 52
¿Cómo puede demostrarse que 2 no es un número racional? ___________________________ 52
¿Existen otros números irracionales que no sean raíces? _________________________________ 53
¿Qué es la notación científica y para qué sirve? _______________________________________ 55
¿Qué es un número real? _________________________________________________________ 56
¿Cuáles son las operaciones básicas entre números reales y sus propiedades? ________________ 57
Los números complejos ________________________________________________ 59
¿Qué es un número complejo? _____________________________________________________ 62
¿Cómo se representa un número complejo? ___________________________________________ 62
¿Son necesarios los números complejos? ____________________________________________ 63
¿Cómo se representan las potencias de i? ____________________________________________ 63
¿Cómo se calculan el opuesto y el conjugado de un número complejo? _____________________ 64
¿Cómo se realizan la suma y la resta entre complejos? __________________________________ 65
¿Cómo se realiza el producto de números complejos? __________________________________ 65
¿Cómo se realiza el cociente de números complejos? ___________________________________ 66
¿Cómo se representa un número complejo en forma polar? ______________________________ 67
¿Cómo se transforma un complejo de forma polar a forma binómica? ______________________ 67
¿Cómo se realizan la multiplicación y la división en forma polar? _________________________ 68
¿Cómo se realiza la potencia de un número complejo en forma polar? ______________________ 69
¿Cómo se realizan las raíces de un número complejo en forma polar? ______________________ 69
Expresiones algebraicas _______________________________________________ 71
¿Qué es una expresión algebraica y cuál es su utilidad? _________________________________ 74
¿Cuáles son los elementos básicos y las propiedades de las expresiones algebraicas? __________ 75
¿Cómo se aplican las propiedades para simplificar una expresión algebraica? ________________ 76
¿Qué son las igualdades entre expresiones numéricas y algebraicas, y cómo puede saberse si son
verdaderas o falsas? _____________________________________________________________ 77
¿Qué es una ecuación y qué es una solución de una ecuación? ____________________________ 78
¿Qué son las ecuaciones equivalentes, y cómo pueden hallarse ecuaciones equivalentes a una dada?
_____________________________________________________________________________ 79
¿En qué consiste la resolución de una ecuación? _______________________________________ 80
Ecuaciones de primer y segundo grado ___________________________________ 82
¿Qué es una ecuación de primer grado, cuántas soluciones puede tener y de qué tipo son? ______ 85
¿Qué debe hacerse antes de resolver una ecuación de primer grado con una incógnita? _________ 85
¿Cuáles son los pasos de la resolución de una ecuación de primer grado? ___________________ 86
¿Qué significa aislar la incógnita de una ecuación de primer grado? _______________________ 88
¿Existe una fórmula para hallar la solución de una ecuación de primer grado? _______________ 89
¿Cómo se expresa una ecuación de segundo grado con una incógnita en forma normal? ________ 89
¿Cuáles son las ecuaciones de segundo grado fáciles de resolver? _________________________ 90
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo grado? ____________________________________ 91
¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado? ______________________________ 92
¿Qué son las ecuaciones de tipo cuadrático y cómo se resuelven? _________________________ 93
¿Qué es una inecuación y qué es una solución de una inecuación? _________________________ 94
¿Qué es un intervalo? ____________________________________________________________ 94
¿Cómo se resuelven las inecuaciones de primer y segundo grado? _________________________ 95
Sistemas de ecuaciones ________________________________________________ 97
¿Qué es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y cuáles son sus soluciones? ___ 100
¿En qué consiste el método de sustitución? __________________________________________ 101
¿En qué consiste el método de igualación? __________________________________________ 101
¿En qué consiste el método de reducción? ___________________________________________ 102
¿Cómo se resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas? ______________ 103
¿Cómo se transforma un sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss? ____________ 104
¿Cómo saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones lineales transformado por el
método de Gauss y cómo se encuentran? ____________________________________________ 105
¿Cómo se aplica el método de Gauss en un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado?
____________________________________________________________________________ 107 ¿Cómo se aplica el método de Gauss en un sistema de ecuaciones lineales compatible
indeterminado? ________________________________________________________________ 108
¿Qué es un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita y cómo se resuelve? __________ 109
¿Qué es un sistema de inecuaciones de segundo grado con una incógnita y cómo se resuelve? __ 110
Los polinomios ______________________________________________________ 112
¿Qué es un polinomio y cuáles son sus elementos? ____________________________________ 115
¿Cómo se realizan las operaciones entre monomios? __________________________________ 116
¿Cómo se realiza la suma y la resta de polinomios? ___________________________________ 116
¿Cómo se realiza la multiplicación de polinomios? ____________________________________ 117
¿Cómo se realiza la división de polinomios? _________________________________________ 118
¿En qué consiste la regla de Ruffini? _______________________________________________ 120
¿Qué es el valor numérico de un polinomio y la raíz de un polinomio, y cuál es su utilidad para la
descomposición de polinomios? __________________________________________________ 121
¿Qué es una fracción algebraica y cómo se operan? ___________________________________ 122
Matrices y determinantes ______________________________________________ 125
¿Qué es una matriz y cuáles son sus elementos? ______________________________________ 129
¿Cómo se realiza la suma y resta de matrices, y la multiplicación por un número? ___________ 130
¿Cómo se realiza el producto de matrices? __________________________________________ 131
¿Qué es el determinante de una matriz cuadrada y cuál es su utilidad? _____________________ 133
¿Cuándo puede invertirse una matriz cuadrada y cómo se hace? _________________________ 135
¿Cómo pueden utilizarse las matrices para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene
solución? ____________________________________________________________________ 136
¿Cómo se hallan las soluciones de un sistema expresado matricialmente? __________________ 137
¿Cómo se utilizan las matrices para agilizar el método de Gauss? ________________________ 139
Elementos de la geometría plana _______________________________________ 140
¿Cuáles son los elementos básicos del plano? ________________________________________ 144
¿Cómo se miden los elementos básicos del plano? ____________________________________ 145
¿Qué es una recta y cuál es su relación con los otros elementos básicos? ___________________ 146
¿Qué es la mediatriz de un segmento y cómo se construye? _____________________________ 148
¿Qué es la bisectriz de un ángulo y cómo se construye? ________________________________ 149
¿Cómo se representan los puntos del plano utilizando un sistema de representación cartesiano? _ 150
Las figuras planas ___________________________________________________ 152
¿Qué es un polígono? ___________________________________________________________ 156
¿Cuáles son las características básicas de un polígono? ________________________________ 157
¿Cuáles son las características básicas de un polígono regular? __________________________ 158
¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un polígono regular? _________________________ 159
¿Cuáles son las características básicas de un cuadrilátero? ______________________________ 160
¿Qué son la circunferencia y el círculo y cuáles son sus elementos básicos? ________________ 162
¿Cuál es la relación de la circunferencia con los otros elementos del plano? ________________ 165
¿Cómo se calcula el perímetro de la circunferencia y el área del círculo? ___________________ 166
Los triángulos ______________________________________________________ 168
¿Qué es un triángulo?___________________________________________________________ 172
¿Cuáles son las rectas y los puntos notables de un triángulo y cómo se hallan? ______________ 172
¿Cuáles son los principales tipos de triángulos? ______________________________________ 173
¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un triángulo? _______________________________ 175
¿En qué consiste el teorema de Pitágoras y cómo se aplica? _____________________________ 176
¿Cuándo dos triángulos son semejantes? ____________________________________________ 177
¿Cuáles son los criterios de semejanza de triángulos? __________________________________ 178
¿Cómo comprobar si dos triángulos son semejantes? __________________________________ 179
Los vectores ________________________________________________________ 181
¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos? ______________________________________ 185
¿Qué es un vector fijo del plano? __________________________________________________ 185
¿Qué es un vector libre del plano? _________________________________________________ 186
¿Cuáles son las operaciones básicas entre vectores? ___________________________________ 187
¿Qué es la norma de un vector, y cómo se calcula? ____________________________________ 188
¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores? ______________________________________ 189 ¿Cómo se representan los puntos y los vectores en el espacio? ___________________________ 191
Trigonometría ______________________________________________________ 192
¿Cuáles son las razones trigonométricas de un ángulo agudo? ___________________________ 195
¿Las razones trigonométricas de un ángulo dependen del triángulo rectángulo escogido? ______ 195
¿Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 60o o p/3 rad? _______________ 196
¿Cuáles son las razones trigonométricas básicas del ángulo de 45o o p/4 rad? _______________ 197
¿Cómo calcular las razones trigonométricas de un ángulo con la calculadora? _______________ 198
¿Cuál es la igualdad básica de la trigonometría? ______________________________________ 199
¿Cómo se calculan las razones trigonométricas de cualquier ángulo? ______________________ 200
Las ecuaciones de los elementos geométricos _____________________________ 202
¿Cómo se suma un vector a un punto del plano? ______________________________________ 206
¿Qué son la ecuación paramétrica y la ecuación cartesiana de una recta, y cómo pueden hallarse?
____________________________________________________________________________ 207
¿Qué son la ecuación explícita y la ecuación implícita de una recta, y cómo pueden hallarse? __ 208
¿Qué información puede obtenerse de las ecuaciones de una recta? _______________________ 209
¿Cuáles son las posibles relaciones entre un punto y una recta? __________________________ 210
¿Cómo averiguar la relación entre dos rectas del plano a través de sus ecuaciones? ___________ 211
Elementos de geometría en el espacio ___________________________________ 213
¿Cuáles son los elementos básicos de la geometría del espacio? __________________________ 217
¿Cuáles son las posiciones relativas de los diversos elementos del espacio? ________________ 217
¿Qué es y cómo se calcula el ángulo entre los elementos del espacio? _____________________ 219
¿Cómo se expresan algebraicamente los elementos del espacio? _________________________ 220
¿Cómo se expresan las posiciones relativas entre planos y rectas? ________________________ 221
El concepto de función _______________________________________________ 224
¿Qué es una correspondencia entre conjuntos? _______________________________________ 227
¿Qué es una aplicación? _________________________________________________________ 228
¿Qué es una tabla de una función? _________________________________________________ 230
¿Qué es la expresión de una función? ______________________________________________ 230
¿Qué es la gráfica de una función? ________________________________________________ 231
¿Qué operaciones pueden realizarse con funciones? ___________________________________ 234
Ejercicios_______________________________________________________________ 236
Soluciones ______________________________________________________________ 238
Las funciones polinómicas ____________________________________________ 239
¿Qué es una función lineal y cuáles son sus características? _____________________________ 243
¿Qué es una función afín y cuáles son sus características? ______________________________ 244
¿Qué es una función cuadrática y cuáles son sus características? _________________________ 247
¿Cómo se construye la gráfica de una función cuadrática? ______________________________ 248
¿Qué relación existe entre la expresión de la función cuadrática y la parábola resultante? ______ 250
¿Qué es una función polinómica y cuáles son sus características? ________________________ 251
Ejercicios_______________________________________________________________ 254
Soluciones ______________________________________________________________ 255
Las funciones exponencial y logarítmica _________________________________ 256
¿Qué es una función exponencial y cuáles son sus características? ________________________ 261
¿Qué es una ecuación exponencial y cómo se resuelve? ________________________________ 262
¿Qué es la composición de funciones y la inversa de una función? ________________________ 263
¿Qué es el logaritmo y cuáles son sus propiedades? ___________________________________ 264
¿Qué son las funciones logaritmo y cuáles son sus características? _______________________ 265
¿Cuál es la relación entre las gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas? _________ 266
¿Qué es una ecuación logarítmica y cómo se resuelve? _________________________________ 267
Ejercicios_______________________________________________________________ 269
Solucione _______________________________________________________________ 270
Las funciones trigonométricas _________________________________________ 272 ¿Qué es la función seno y cuáles son sus características? _______________________________ 277
¿Qué es la función coseno y cuáles son sus características? _____________________________ 278
¿Cuál es la relación entre la función seno y la función coseno? __________________________ 279
¿Qué es la función tangente y cuáles son sus características? ____________________________ 279
¿Qué es la función cotangente y cuáles son sus características? __________________________ 281
¿Qué son las funciones secante y cosecante y cuáles son sus características? ________________ 283
¿Cuáles son las funciones inversas de las funciones trigonométricas? _____________________ 285
Ejercicios_______________________________________________________________ 287
Soluciones ______________________________________________________________ 288
Límites de funciones _________________________________________________ 289
¿Cuál es la noción intuitiva de límite funcional? ______________________________________ 293
¿Cuál es el concepto riguroso de límite de una función en un punto? ______________________ 294
¿Cuáles son las reglas principales para el cálculo de límites? ____________________________ 295
¿Qué significa el límite cuando la variable tiende a +∞ o –∞? ___________________________ 296
¿Qué son los limites laterales y los límites infinitos? __________________________________ 297
¿Qué es una indeterminación, qué tipos de indeterminación existen y cómo se resuelven? _____ 299
Ejercicios_______________________________________________________________ 302
Soluciones ______________________________________________________________ 303
Funciones continuas _________________________________________________ 305
¿Cuándo una función es continua en un punto? _______________________________________ 307
¿Qué es una discontinuidad y cuáles son sus tipos? ____________________________________ 308
¿Qué es una asíntota y cuántos tipos de asíntotas existen? ______________________________ 310
Ejercicios_______________________________________________________________ 312
Soluciones ______________________________________________________________ 313
Derivada de una función ______________________________________________ 315
¿Qué es la derivada de una función en un punto y cuál es su interpretación? ________________ 318
¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto en algunos monomios? ____________ 319
¿Qué es la función derivada y cómo se calcula? ______________________________________ 320
¿Cuáles son las reglas de la derivación? ____________________________________________ 321
¿Qué relación existe entre la derivada de una función y el crecimiento de la misma? _________ 323
Ejercicios_______________________________________________________________ 325
Soluciones ______________________________________________________________ 326
Aplicaciones de la derivada ____________________________________________ 327
¿Cómo localizar máximos y mínimos de una función utilizando su derivada? _______________ 330
¿Cómo se resuelve un problema de máximos o mínimos utilizando la derivación? ___________ 332
¿Qué es la concavidad y la convexidad de una función y qué relación tiene con la derivación? __ 334
¿Qué información debe conocerse para representar aproximadamente la gráfica de una función? 336
Ejercicios_______________________________________________________________ 339
Soluciones ______________________________________________________________ 340
Integral de una función _______________________________________________ 344
¿En qué consiste el proceso de integración de una función? _____________________________ 347
¿Cuáles son las reglas de la integración y cómo influyen en el cálculo de primitivas? _________ 348
¿Qué métodos pueden utilizarse para integrar una función? _____________________________ 349
¿Qué es la integral definida de una función? _________________________________________ 351
¿Cómo se calcula la integral definida a partir de una primitiva de la función? _______________ 353
¿Cuál es el valor de esta suma
n
∑ i
2
? ______________________________________________ 354
i = 0
Ejercicios_______________________________________________________________ 356
Soluciones ______________________________________________________________ 357 Aplicaciones del cálculo integral _______________________________________ 359
¿Cómo se calcula el área que encierra una función positiva con el eje X? __________________ 362
¿Cómo se calcula el área que encierra una función negativa con el eje X? __________________ 363
¿Cómo se calcula el área que encierra una función cualquiera con el eje X? ________________ 363
¿Cómo se calcula el área que se encierra entre dos funciones en cierto intervalo? ____________ 365
¿Cómo se calcula el volumen de una figura de revolución generada por una función positiva? __ 366
¿Cómo se calcula la fórmula del volumen de las figuras de revolución básicas? _____________ 367
¿Cómo se calcula el volumen de una figura de revolución generada por el área encerrada por dos
funciones? ___________________________________________________________________ 369
Ejercicios_______________________________________________________________ 371
Soluciones ______________________________________________________________ 372

Dominar la matemática es imprescindible, tanto en sus contenidos como en su metodología, para introducirse en cualquier disciplina de carácter científico.

Por ello, es necesario comprender algunas de las técnicas y conceptos básicos del álgebra lineal y el cálculo (muchas veces, ya tratados en secundaria y bachillerato) antes de afrontar los problemas habituales con que un ingeniero se enfrenta diariamente. La finalidad fundamental de la asignatura consiste, pues, en adquirir la terminología, las técnicas y los conceptos fundamentales del álgebra y el análisis matemático, y en posibilitar el uso práctico de los conceptos matemáticos estudiados.

Los objetivos de este estudio se centran en:

Conocer la teoría básica de conjuntos y, en particular, la del conjunto de los números.
Manipular polinomios.
Resolver ecuaciones e inecuaciones.
Manipular matrices, calcular determinantes de matrices de dimensiones reducidas, resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables mediante el método de Gauss.
Comprender el concepto de función real de variable real, conocer las características de las funciones elementales: polinómicas, trigonométricas (seno, coseno,
tangente), exponenciales y logarítmicas.
Comprender el concepto de límite, conocer sus propiedades y calcular límites aplicando las principales reglas de cálculo.
Comprender el concepto de derivada y su interpretación geométrica, conocer sus propiedades y calcular derivadas aplicando sus reglas de cálculo.
Calcular las funciones primitivas de las funciones elementales.
Aplicar todos los conceptos anteriormente citados al planteamiento y análisis de problemas prácticos.